ভেক্টর ক্যালকুলাস

ডেল (ন্যাবলা) অপারেটর ( $\vec{\nabla}$ )

গ্রেডিয়েন্ট, ডাইভারজেন্স ও কার্ল বোঝার আগে তোমাকে এই অপারেটরটি চিনতে হবে। এটি নিজে কোনো মান বা ভেক্টর নয়, বরং এটি অন্য কিছুর উপর কাজ করে (operate করে) তাকে পরিবর্তন করে। একে একটি "ভেক্টর ডিফারেনশিয়াল অপারেটর" বলা হয়।

একে লেখা হয় এভাবে:

\vec{\nabla} = \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z}

এখানে $\frac{\partial}{\partial x}$ হলো x-এর সাপেক্ষে আংশিক অন্তরীকরণ (partial derivative)। এর মানে হলো, শুধু x-এর পরিবর্তন দেখা হয় এবং y ও z-কে ধ্রুবক হিসেবে ধরে নেওয়া হয়।

এখন চলো দেখি, এই ডেল অপারেটর কীভাবে গ্রেডিয়েন্ট, ডাইভারজেন্স ও কার্ল তৈরি করে।

১. গ্রেডিয়েন্ট (Gradient)

কীসের উপর কাজ করে? একটি স্কেলার ফিল্ড (Scalar Field) এর উপর।

ফলাফল কী হয়? একটি ভেক্টর ফিল্ড (Vector Field)।

সহজ ধারণা:

স্কেলার ফিল্ড মানে হলো এমন একটি জায়গা যেখানে প্রতিটি বিন্দুতে একটি স্কেলার মান আছে। যেমন, একটি ঘরের বিভিন্ন বিন্দুর তাপমাত্রা, বা একটি পাহাড়ের বিভিন্ন বিন্দুর উচ্চতা।

গ্রেডিয়েন্ট তোমাকে বলে, ওই স্কেলার ফিল্ডের কোনো বিন্দুতে দাঁড়ালে কোন দিকে গেলে মান সবচেয়ে দ্রুত বাড়বে এবং কত দ্রুত বাড়বে।

উদাহরণ (পাহাড়): মনে করো, তুমি একটি পাহাড়ের গায়ে দাঁড়িয়ে আছো। পাহাড়ের উচ্চতা হলো একটি স্কেলার ফিল্ড।
- ওই বিন্দুতে উচ্চতার গ্রেডিয়েন্ট হবে একটি ভেক্টর, যা তোমাকে পাহাড়ের সবচেয়ে খাড়া চড়াইয়ের দিকটা দেখিয়ে দেবে।
- এই ভেক্টরটির মান যত বেশি হবে, চড়াই তত বেশি খাড়া হবে।

গাণিতিক প্রকাশ:

গ্রেডিয়েন্ট হলো ডেল অপারেটর ( $\vec{\nabla}$ ) এবং একটি স্কেলার ফাংশন $f (x, y, z)$ -এর সাধারণ গুণ।

grad (f) = \vec{\nabla} f = (\hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z}) f

\vec{\nabla} f = \hat{i} \frac{\partial f}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial f}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial f}{\partial z}

:::info
💡 মূল কথা: গ্রেডিয়েন্ট একটি স্কেলার ফিল্ড থেকে দিকনির্দেশক ভেক্টর ফিল্ড তৈরি করে, যা সর্বোচ্চ পরিবর্তনের দিক নির্দেশ করে।
:::

২. ডাইভারজেন্স (Divergence)

কীসের উপর কাজ করে? একটি ভেক্টর ফিল্ড (Vector Field) এর উপর।

ফলাফল কী হয়? একটি স্কেলার মান।

সহজ ধারণা:

ভেক্টর ফিল্ড মানে হলো এমন একটি জায়গা যার প্রতিটি বিন্দুতে একটি ভেক্টর যুক্ত থাকে। যেমন, নদীর পানির স্রোত বা কোনো চৌম্বক ক্ষেত্র।

ডাইভারজেন্স তোমাকে বলে, একটি ভেক্টর ফিল্ডের কোনো বিন্দু থেকে ভেক্টরগুলো কতটা বাইরের দিকে ছড়িয়ে পড়ছে (অপসারী হচ্ছে) বা ভেতরের দিকে সংকুচিত হচ্ছে (অভিসারী হচ্ছে)। এটি কোনো বিন্দুতে "উৎস (source)"-এর শক্তি পরিমাপ করে।

উদাহরণ (পানির স্রোত):

ধনাত্মক ডাইভারজেন্স (+ve): পানির নিচে যদি একটি ঝর্ণা (উৎস) থাকে, তাহলে ওই বিন্দু থেকে পানি চারদিকে ছড়িয়ে পড়বে। এখানে ডাইভারজেন্সের মান ধনাত্মক।
ঋণাত্মক ডাইভারজেন্স (-ve): পানির নিচে যদি একটি নর্দমার মুখ (গর্ত) থাকে, তাহলে চারদিক থেকে পানি ওই বিন্দুর দিকে ছুটে আসবে। এখানে ডাইভারজেন্সের মান ঋণাত্মক।
শূন্য ডাইভারজেন্স (0): যদি একটি সাধারণ পাইপের মধ্যে দিয়ে পানি সমবেগে প্রবাহিত হয়, তাহলে যেকোনো বিন্দুতে যতটুকু পানি ঢুকছে, ঠিক ততটুকুই বেরিয়ে যাচ্ছে। এখানে কোনো উৎস বা গর্ত নেই। তাই ডাইভারজেন্স শূন্য। যে ভেক্টর ফিল্ডের ডাইভারজেন্স শূন্য, তাকে সলিনয়েডাল (Solenoidal) বলা হয়।

গাণিতিক প্রকাশ:

ডাইভারজেন্স হলো ডেল অপারেটর ( $\vec{\nabla}$ ) এবং একটি ভেক্টর ফিল্ড $\vec{F}$ -এর ডট গুণফল (Dot Product)।

ধরা যাক, $\vec{F} = F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j} + F_{z} \hat{k}$ ।

div (\vec{F}) = \vec{\nabla} \cdot \vec{F} = (\hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j} + F_{z} \hat{k})

\vec{\nabla} \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_{x}}{\partial x} + \frac{\partial F_{y}}{\partial y} + \frac{\partial F_{z}}{\partial z}

:::info
💡 মূল কথা: ডাইভারজেন্স একটি ভেক্টর ফিল্ডের কোনো বিন্দুতে প্রবাহের ঘনত্ব বা উৎস/গর্তের পরিমাণ নির্দেশ করে
:::

জেনে রাখা ভালোঃ

যে ভেক্টর ফিল্ডের ডাইভারজেন্স শূন্য, তাকে সলিনয়েডাল (Solenoidal) বলা হয়।

৩. কার্ল (Curl)

কীসের উপর কাজ করে? একটি ভেক্টর ফিল্ড (Vector Field) এর উপর।

ফলাফল কী হয়? আরেকটি ভেক্টর ফিল্ড (Vector Field)।

সহজ ধারণা:

কার্ল তোমাকে বলে, একটি ভেক্টর ফিল্ডের কোনো বিন্দুতে ঘূর্ণনের প্রবণতা কেমন।

উদাহরণ (নদীর স্রোত): মনে করো, তুমি নদীর স্রোতের মধ্যে একটি ছোট্ট হালকা চাকা (paddlewheel) রেখে দিলে।

অশূন্য কার্ল (Non-zero Curl): যদি স্রোতের কারণে চাকাটি নিজের অক্ষের চারপাশে বনবন করে ঘুরতে থাকে, তাহলে ওই বিন্দুতে ভেক্টর ফিল্ডটির কার্ল আছে।
কার্ল ভেক্টরের দিক: ডান-হাতি নিয়ম (Right-hand rule) অনুযায়ী, তোমার ডান হাতের আঙুলগুলো যদি চাকার ঘূর্ণনের দিকে থাকে, তাহলে তোমার বুড়োআঙ্গুল যেদিকে থাকবে, সেটাই হবে কার্ল ভেক্টরের দিক।
কার্ল ভেক্টরের মান: চাকাটি যত দ্রুত ঘুরবে, কার্লের মান তত বেশি হবে।- শূন্য কার্ল (Zero Curl): যদি স্রোত এমনভাবে বয় যে চাকাটি না ঘুরে শুধু ভেসে ভেসে এক জায়গা থেকে আরেক জায়গায় চলে যায়, তাহলে ওই ফিল্ডের কার্ল শূন্য। যে ভেক্টর ফিল্ডের কার্ল শূন্য, তাকে অঘূর্ণনশীল (Irrotational) বলা হয়।

গাণিতিক প্রকাশ:

কার্ল হলো ডেল অপারেটর ( $\vec{\nabla}$ ) এবং একটি ভেক্টর ফিল্ড $\vec{F}$ -এর ক্রস গুণফল (Cross Product)।

curl (\vec{F}) = \vec{\nabla} \times \vec{F} = | \begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{x} & F_{y} & F_{z} \end{matrix} |

একে সমাধান করলে পাওয়া যায়:

\vec{\nabla} \times \vec{F} = (\frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y}) \hat{k}

:::info
💡 মূল কথা: কার্ল একটি ভেক্টর ফিল্ডের কোনো বিন্দুতে ঘূর্ণন প্রবণতা এবং ঘূর্ণনের অক্ষকে প্রকাশ করে।
:::

জেনে রাখা ভালোঃ

কার্ল = $\vec{\nabla} \times \vec{V} = 0$ হলে অঘূর্ণনশীল এবং ভেক্টরটি সংরক্ষণশীল হবে।
কার্ল = $\vec{\nabla} \times \vec{V} \neq 0$ হলে ঘূর্ণনশীল এবং ভেক্টরটি অসংরক্ষণশীল হবে।

সারসংক্ষেপ

অপারেটর	ইনপুট	আউটপুট	মূল ধারণা
গ্রেডিয়েন্ট ( $g r a d f$ )	স্কেলার ফিল্ড	ভেক্টর ফিল্ড	সর্বোচ্চ পরিবর্তনের দিক ও হার
ডাইভারজেন্স ( $d i v \vec{F}$ )	ভেক্টর ফিল্ড	স্কেলার মান	উৎস বা গর্তের শক্তি (ছড়িয়ে পড়া)
কার্ল ( $c u r l \vec{F}$ )	ভেক্টর ফিল্ড	ভেক্টর ফিল্ড	ঘূর্ণনের অক্ষ, দিক ও পরিমাণ

ডেল (ন্যাবলা) অপারেটর (∇→)

১. গ্রেডিয়েন্ট (Gradient)

২. ডাইভারজেন্স (Divergence)

৩. কার্ল (Curl)

সারসংক্ষেপ

ডেল (ন্যাবলা) অপারেটর ( $\vec{\nabla}$ )